栃木県立高校入試の数学では
「比例定数aを求めよ」という問題を
よく見かけます。
座標図形の問題で、
長方形の面積や線分の長さを
条件にしてaを求めるタイプです。
授業でもよく扱う定番問題です。
授業でこのタイプの問題を扱うと
よくこんなやり取りがあります。
「先生、aを求めるんですよね？」
もちろん最終的にはaを求めます。
しかし実際の解き方を見ると
最初に行うのは
aを求めることではありません。
高校入試の数学では
比例定数aを求めよ
という問題をよく見かけます。
図形の問題や座標の問題で
出題されることが多く、
入試問題集でも定番のタイプです。
この問題を見ると多くの生徒は
「aをどうやって求めるか」
を考え始めます。
しかし実際には
この問題で最初に行うのは
座標をaで表すことです。
生徒は最初からaを求めようとする
比例定数aの問題を見ると
多くの生徒は
どうやってaを求めるか
を考え始めます。
しかし実際の解き方では
最初にaを求めるわけではありません。
まず行うのは、
座標をaで表すことです。
塾で教えている感覚では
比例定数aの問題＝座標を作る問題
と言えるかもしれません。
比例定数ａの問題は「座標」を作る問題
このタイプの問題では
まず図形の点の座標を考えます。
例えば
・点Aの座標
・点Bの座標
などを決めます。
そしてその座標を
aを使って表す
ことが多くなります。
つまりこの段階では、
まだaは求めません。
まず図形を文字で表すことを
行います。
長さや面積を式にする
座標がaで表せると、次に
・線分の長さ
・長方形の面積
などを式で表すことができます。
ここで、aを含んだ式ができます。
例えば
線分の長さが
2a
長方形の面積が
a(10−a)
のような形になります。
長さから逆算しようとする生徒
授業でこの問題を扱うと
生徒がよくやろうとする
考え方があります。
問題文に
「長さが○○」
「面積が○○」
と書いてあると、
そこから直接 a を求めよう
とするのです。
つまり
長さ → a
という順番で考えようとします。
しかし実際の解き方は
a
↓
座標
↓
長さ
↓
条件
↓
a
という流れになります。
つまり長さから
逆算するのではなく
aを使って図形を表す
ことが先になります。
栃木県立高校入試でよく見る形
栃木県の入試では
このタイプの問題は
・長方形の面積
・線分の長さ
などを条件にして、
比例定数aを求める形が
よく出題されます。
解き方の流れを見ると、
座標をaで表す
↓
長さを式にする
↓
長方形の面積（または線分の長さ）
↓
条件から方程式
という形になります。
図形と式をつなぐ問題
このタイプの問題は
見た目は図形の問題ですが、
実際には
図形を座標に置き換えて考える問題
でもあります。
つまり
図形
↓
座標
↓
文字式
↓
方程式
という流れになります。
比例定数aの問題は、
図形の関係を文字で表す練習
とも言えるかもしれません。
まとめ
比例定数aの問題は、
座標をaで表す
↓
長さ・面積を式にする
↓
条件から方程式
↓
aを求める
という流れで考える問題です。
aを求めることだけに
注目するのではなく、
図形の関係を文字で表す
という視点で見ると、
このタイプの問題の構造が
見えやすくなります。
数学の学習習慣については、こちらの記事でも書いています。
→ 数学・物理で詰む高校生の共通点「図・グラフが書けない」
→ 図を書く子はなぜ強いのか
→ 高校数学で崩れる生徒に起きていること
